「許可」は、原則として禁止されている行為について、一定の要件の下で禁止を解除することです。
「登録」は、行政機関において一定事項を、公簿に記載することです。
「届出」は、一定の事柄を行政に知らせることです。
何となくですが、許可が一番厳しそうだと感じてもらえると思います。
旅行業は登録ですので許可ほど厳しくはありませんが、資金要件などは許可並みに審査されますので、簡単というわけでもありません。
記載の方法ですが、「旅行に関すること」などとあいまいな表現では登録が認められない場合がありますので、
・「旅行業」
・「旅行業法に基づく旅行業」
とすればよいかと思います。
定款変更を行ってから、旅行業登録申請を行う流れになります。